Tema 4: Raíces de la función racional

Raíces de una Función Racional

Definición:

Una raíz a de una función racional f es el valor donde f(a)=0

Lo anterior significa que, para encontrar las raíces de la función polinómica f, tenemos que resolver la ecuación f(x)=0. Para que la función exista, el denominador debe ser distinto de cero. Por lo tanto para encontrar las raíces de la función polinómica $f\left(x\right)\frac{\text{P(x)}}{\text{Q(x)}}$ , si P(x) y Q(x) no tienen factor comun, es suficiente resolver P(x)=0.

La raíz de una función racional $f\left(x\right)\frac{\text{P(x)}}{\text{Q(x)}}$ es el valor donde el numerador, P(x)=0

Ejemplos:

1.- Encontrar las raíces de la función $f\left(x\right)\frac{x^3{x}^{2}2x}{2x^{2}x6}$

Solución:

Recordemos que el denominador no puede ser igual a cero. Por lo tanto, para encontrar las raíces de la función racional solo es necesario encontrar las raíces del numerador. Factorizando el numerador obtenemos:

$f\left(x\right)\frac{x\left(x1\right)\left(x2\right)}{2x^{2}x6}$

Por lo tanto:

$x0$

o

$\begin{array}{c}\left(x1\right)0\\ x1\end{array}$

o

$\begin{array}{c}\left(x2\right)0\\ x2\end{array}$

Las raíces de la función $f\left(x\right)\frac{x^{3}3x^{2}2x}{2x^{2}x6}$ son x=0, x=1 y x=-2


Puedes visualizar estas raíces observando la gráfica de esta función, que es la siguiente:

2.-Encontrar las raíces de la función $f\left(x\right)\frac{x^{3}5x^{2}4x}{x^{2}x2}$

  

Solución:Factorizando el numerador en la expresión obtenemos:

$f\left(x\right)\frac{x\left(x1\right)\left(x4\right)}{x^{2}x2}$

Como el denominador no puede ser igual a cero. La función puede ser cero si alguno de los factores del numerador es cero:

$x0$

o

$\begin{array}{c}\left(x1\right)0\\ x1\end{array}$

o

$\begin{array}{c}\left(x4\right)0\\ x4\end{array}$

Las raíces de la función $f\left(x\right)\frac{x^{3}5x^{2}4x}{x^{2}x2}$ son x=0, x=-1 y x=-4


Puedes visualizar estas raíces observando la gráfica de esta función, que es la siguiente:

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Asíntotas de una gráfica de una función racional

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definición más formal es:

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

-Verticales

-Horizontal

-Oblicuas

Asíntotas horizontales y oblicuas en una función racional

Horizontales:

Ejemplos de asíntotas horizontales

Oblicuas:

Ejemplos de asíntotas oblicuas